计算√3665的近似值的几种方法

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法,介绍二次根式3665的近似值计算方法步骤。

※.线性穿插法计算近似值

    1

    设√3665=x,并找与之最近的两个完全平方数,有:

    √3600=60,

    √3665=x,

    √3721=61,用线性穿插得:

    (3665-3600)/(3721-3665)=(x-60)/(61-x)

    65(61-x)=56(x-60)

    121x=7325

    x=7325/121≈60.5372.

    计算√3665的近似值的几种方法END

※.微分法计算近似值

    1

    ∵dy=f'(x)dx,f(x)=√x,∴dy=dx/(2√x),对于本题有:

    √3665-√3600=(3665-3600)/(2√3600)

    √3665=√3600+65/(2*60)

    √3665=60+13/24≈60.5417.

    计算√3665的近似值的几种方法END

※.极限法计算近似值

    1

    原理为当x趋近无穷小时,有(1±x) ᵃ≈1±ax,其中a为不为1的常数。

    对于本题:

    √3665=√(3600+65)

    √3665=√[3600(1+65/3600)]

    =60√(1+65/3600)

    =60*[1+65/(2*3600)]

    =60+13/24≈60.5417.

    计算√3665的近似值的几种方法END

※.泰勒展开式计算近似值

    1

    ∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f"(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

    ∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f"(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

    其中O(x³)表示x的三次无穷小。

    对于本题幂函数y=f(x)=√x,有:

    f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f"(x)=-(1/4)x^(-3/2),即:

    f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

    计算√3665的近似值的几种方法

    2

    对于本题,x=3665,x₀=3600,x-x₀=65,代入得:

    √3665

    ≈√3600+(65/2)*3600^(-1/2)-(1/8)*65²*3600^(-3/2)

    ≈60+(65/2)*60⁻¹-(1/8)*65²*60⁻³

    ≈60+13/24-65²/(8*60³)

    即:√3665≈60.5392。

    计算√3665的近似值的几种方法END

结论拓展分析:

    1

    1.本次近似计算以保留四位小数为主,从精确度来看,精确度最高的是泰勒展开式法,其次是线性穿插法。

    2.所求的某个数a的算术平方根,由于与a相邻有两个可开方数,一般在近似计算中选取与之最近的一个可开方数。

    END

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