本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，介绍函数用导数工具画函数y=(2x³-3)/(x+1)³的图像的主要步骤。

函数的定义域

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根据分数函数的定义要求，必须分母整体不为0，则x+1≠0，即可知函数自变量的取值，进一步可写出函数y=(2x³-3)/(x+1)³的定义域。



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形如y=f(x)，则x是自变量，它代表着函数图像上每一点的横坐标，自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法则的代表，它可以由f(x)的解析式决定。

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函数的单调性

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利用函数的导数知识，计算函数的一阶导数，根据导数的符号，解析函数y=(2x³-3)/(x+1)³的单调性。



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如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

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函数的凸凹性

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计算函数的二阶导数，即可求出函数的拐点，进而解析函数单调性，则可求出函数y=(2x³-3)/(x+1)³的凸凹区间。



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如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0。

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函数的极值

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计算函数y=(2x³-3)/(x+1)³在无穷远处和函数的点断点处的极限：



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极限指某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”，极限是一种“变化状态”的描述。

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函数的部分点图表

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根据函数单调性、凸凹性等性质，列举函数y=(2x³-3)/(x+1)³在定义域区间上部分关键点坐标。

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函数的示意图

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综合以上函数的定义域、单调性、凸凹性、极限性质，并结合函数的定义区间和单调、凸凹区间，即可画出函数y=(2x³-3)/(x+1)³的示意图如下：

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