本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

思路一：直接代入法

1

主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在2a+39b=9条件下的最大值。

主要公式：

1.(sina)^2+(cosa)^2=1。

2.ab≤(a+b)^2/2。



2

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(3/13-2/39*a)

=-2/39*a^2+3/13*a

=-2/39(a-9/4)^2+27/104，

则当a=9/4时，ab有最大值为27/104。

END

思路二：判别式法

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设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

2a+39b=9,

2a+39p/a=9,

2a^2-9a+39p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-312p≥0,即：

p≤27/104,

此时得ab=p的最大值=27/104。

END

思路三：三角换元法

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将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由2a+39b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设2a=9(cost)^2，39b=9(sint)^2，则：

a=(cost)^2,b=3/13(sint)^2,代入得：

ab=(cost)^2*3/13(sint)^2,

=27/104*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=27/104。

END

思路四：中值代换法

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设2a=9/2+t,39b=9/2-t，则：

a=(1/2)(9/2+t),b=(1/39)(9/2-t)

此时有：

ab=1/78*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/78*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤27/104,

则ab的最大值为27/104。

END

思路五：不等式法

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当a，b均为正数时，则：

∵2a+39b≥2√78*ab,

∴(2a+39b)^2≥312*ab,

81≥312*ab,

即：ab≤27/104,

则ab的最大值为27/104。

END

思路六：数形几何法

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如图，设直线2a+39b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ，则：

2a0+39b0=9,b0=a0tanθ,

2a0+39a0tanθ=9，得

a0=9/(2+39tanθ),

|a0*b0|=81*|tanθ|/(2+39tanθ)^2,

=81/[(4/|tanθ|)+156+1521|tanθ|]

≤81/(156+156)=27/104。

则ab的最大值=27/104.

END

思路七:构造函数法

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设函数f(a,b)=ab-λ(2a+39b-9),

则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-39λ,

f'λ=2a+39b-9。

令f'a=f'b=f'λ=0，则：

b=2λ,a=39λ。进一步代入得：

78λ+78λ=9,即λ=3/52.

则有a=9/4,b=3/26.

ab的最大值=9/4*3/26=27/104。

END