本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，介绍函数用导数工具画函数y=(x³-3)/(x+1)³的图像的主要步骤。

函数的定义域

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根据分数函数的定义要求，必须分母整体不为0，则x+1≠0，即可知函数自变量的取值，进一步可写出函数y=(x³-3)/(x+1)³的定义域。



2

定义域是指该函数的有效范围，函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。

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函数的单调性

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通过函数的一阶导数，判断函数y=(x³-3)/(x+1)³的单调性。

2

如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用"∪"连接，而只能用"逗号"隔开。



3

导数与函数单调性密切相关。特别是对于具体函数，利用导数求解函数单调性，思路清晰，步骤明确，既快捷又易于掌握。

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函数的凸凹性

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再次计算一阶导数的导数，即通过函数y=(x³-3)/(x+1)³的二阶导数，计算出函数的拐点，进而求出函数y=(x³-3)/(x+1)³的凸凹区间。



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二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数，则y'=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。

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函数的极值

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判断函数y=(x³-3)/(x+1)³在端点处的极限：

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函数的示意图

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根据函数y=(x³-3)/(x+1)³单调性、凸凹性，并结合函数的定义域，列举函数上部分特征点坐标。



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综合以上性质，函数y=(x³-3)/(x+1)³的示意图如下：

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