本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，介绍函数用导数工具画函数y=(2x³-1)/(x+1)³的图像的主要步骤。

函数的定义域

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函数是分式函数，根据函数特征，分母应不为0。



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形如y=f(x)，则x是自变量，它代表着函数图像上每一点的横坐标，自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法则的代表，它可以由f(x)的解析式决定。

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函数的单调性

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通过函数的一阶导数，根据导数的符号，判断函数单调性。



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如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

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导数与函数单调性密切相关。特别是对于具体函数，利用导数求解函数单调性，思路清晰，步骤明确，既快捷又易于掌握。

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函数的凸凹性

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计算函数的二阶导数，即可求出函数的拐点，进而解析函数单调性，则可求出函数的凸凹区间。



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二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数，则y'=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。



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如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图像上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图像都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

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函数的极值

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判断函数在端点处的极限：

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函数的部分点图表

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根据函数单调性、凸凹性等性质，列举函数在定义域区间上部分关键点坐标。

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函数的示意图

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综合以上函数的定义域、单调性、凸凹性、极限性质，并结合函数的定义区间和单调、凸凹区间，即可画出函数的示意图如下：

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