三角函数是一个重要的知识点，尤其在生活应用中具有举足轻重的作用！三角函数包括sin cos，tan，cot，以及arctan，arccos，等等。他们之间是如何换算的？他们之间又有什么特殊的关系式子？

定义表达式

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直角三角函数的定义：

正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c ；

余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c ；

正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b ；

余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a；

一般在解三角形中经常使用这些等式！



2

倒数关系：

tanα ·cotα=1；

sinα ·cscα=1；

cosα ·secα=1　；

这些等式可以直接由定义式子直接算出来，这里的角度α是任意的。



3

商的关系：

sinα/cosα=tanα=secα/cscα ；cosα/sinα=cotα=cscα/secα ；



4

平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1 ；

1+tan^2(α)=sec^2(α) ；

1+cot^2(α)=csc^2(α) ；



5

二倍角公式

正弦　　sin2α=2sinα·cosα　；　

余弦　　1.Cos2α=Cos^2(α)-Sin^2(α) ；

　　2.Cos2α=1-2Sin^2(α) ；

　　3.Cos2α=2Cos^2(α)-1 ；

即Cos2α=Cos^2(α)-Sin^2(α)=2Cos^2(α)-1=1-2Sin^2(α)；正切tan2α=（2tanα）/（1-tan^2(α)）；

END

不常用的关系式

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万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] ；

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] ；

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]；

建立了sinα，cosα，tanα与tanα/2 之间的关系。



2

半角公式

　　tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα);

　　cot(α/2)=sinα/(1-cosα)=(1+cosα)/sinα；

　　sin^2(α/2)=(1-cos(α))/2；

　　cos^2(α/2)=(1+cos(α))/2；

　　tan(α/2)=(1-cos(α))/sin(α)=sin(α)/(1+cos(α)) ；

建立了半角与正个角之间的转化关系。



3

和差化积　　sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]；

　　sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]；

　　cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]；

　　cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]；

　　tanθ+tanφ=sin(θ+φ)/cosθcosφ=tan(θ+φ)(1-tanθtanφ)；

　　tanθ-tanφ=sin(θ-φ)/cosθcosφ=tan(θ-φ)(1+tanθtanφ)

将三角函数的额和，化成乘积的形式。



4

两角和公式　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)；

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)；

　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；

　　cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；

　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；

　　sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ

将一个角度拆成两个角之和或者差的形式



5

积化和差　　sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2；

　　cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2；

　　sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2；

　　cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2；



6

三倍角公式　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)；

　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)；

　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)；

不常用，了解一下。

7

四倍角公式

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

不常用，了解一下。

8

五倍角公式

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)

不常用，了解一下。

END

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