本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，介绍函数用导数工具画函数y=(3x³-4)/(x+1)³的图像的主要步骤。

函数的定义域

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根据函数特征，分母应不为0，即可得到不等式x+1≠0，则可计算出函数y=(3x³-4)/(x+1)³的定义域。



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形如y=f(x)，则x是自变量，它代表着函数图像上每一点的横坐标，自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法则的代表，它可以由f(x)的解析式决定。

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函数的单调性

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函数的单调性是函数的重要性质，反映了随着自变量的增加函数值的变化趋势，它是研究函数性质的有力工具，在解决比较大小、解决函数图像、值域、最值、不等式问题都有很重要的作用。



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通过函数的一阶导数，判断函数y=(3x³-4)/(x+1)³的单调性。

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函数的凸凹性

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通过函数的二阶导数，解析函数y=(3x³-4)/(x+1)³的凸凹区间。



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如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图像上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图像都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

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函数的极值

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计算函数y=(3x³-4)/(x+1)³在无穷远处和函数的点断点处的极限：

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函数的五点图

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根据函数单调性、凸凹性等性质，列举函数y=(3x³-4)/(x+1)³在定义域区间上部分关键点坐标。



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函数上部分点坐标的解析，是通过二维坐标系画函数y=(3x³-4)/(x+1)³图像的关键步骤。

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函数的示意图

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综合以上函数的定义域、单调性、凸凹性、极限性质，并结合函数的定义区间和单调、凸凹区间，即可画出函数y=(3x³-4)/(x+1)³的示意图如下：

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