本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，介绍函数用导数工具画函数y=6x^3+3x^2的图像的主要步骤。

主要方法与步骤

1

根据函数特征，函数自变量x可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞）。



2

一阶导数的应用，判断函数的单调性：计算函数的一阶导数，求出函数驻点，判断函数一阶导数的正负，即可解析函数的单调性，进而得到函数的单调区间。



3

函数的单调性是函数的重要性质，反映了随着自变量的增加函数值的变化趋势，它是研究函数性质的有力工具，在解决比较大小、解决函数图像、值域、最值、不等式问题都有很重要的作用。

4

函数的单调性也叫函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值f(x)也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性。

5

如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

6

二阶导数可判断函数的凸凹性，主要过程为：计算函数的二阶导数，即可知函数的拐点，再根据二阶导数的符号，判断函数的凸凹性，进而解析函数的凸凹区间。



7

判断函数在无穷远处和无穷近处的极限。



8

根据以上函数的主要特征，函数上部分点图表列举。



9

综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，本例应用导数工具，计算单调和凸凹区间，函数的示意图如下：

END