本文介绍函数的定义域、值域、单调性、凸凹性等性质,并通过导数工具解析函数的单调和凸凹区间,同时简要画出函数y=46x/34+48/(2x-69)的图像示意图。
主要方法与步骤
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函数的定义域:根据函数y=46x/34+48/(2x-69)特征,对于分数函数要求分母不为0,这有2x-69≠0,即x≠69/2,所以函数的定义域为:(-∞,69/2)∪(69/2,+∞)。
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在高中数学里,定义域的定义为:设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x属于集合A。其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域。
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函数的单调性是函数的重要性质,反映了随着自变量的增加函数值的变化趋势,它是研究函数性质的有力工具,在解决比较大小、解决函数图像、值域、最值、不等式问题都有很重要的作用。
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常用的求值域的方法:(1)化归法;(2)图象法(数形结合)(3)函数单调性法,(4)配方法,(5)换元法,(6)反函数法(逆求法),(7)判别式法,(8)复合函数法,(9)三角代换法,(10)基本不等式法等。
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如果函数y=46x/34+48/(2x-69)在区间I上二阶可导,则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0。
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如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图像上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图像都在该线段的下方,反之在该线段的上方。
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函数y=46x/34+48/(2x-69)上部分特征点列表如下:
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综合以上函数的定义域、单调性、凸凹性等性质,结合函数的单调和凸凹区间,解析函数y=46x/34+48/(2x-69)的图像示意图如下。
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