本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，介绍函数用导数工具画函数y=e^x/(4x+1)的图像的主要步骤。

工具/原料

函数图像有关知识

导数相关知识

主要方法与步骤

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本函数y=e^x/(4x+1)为分式复合函数，根据根式定义域和分母不为0的要求，即可求出函数y=e^x/(4x+1)的定义域。



2

通过函数y=e^x/(4x+1)的一阶导数，判断函数y=e^x/(4x+1)的单调性。



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导数也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。

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函数y=e^x/(4x+1)的极限计算，函数在无穷处和不定义点处的极限。



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函数y=e^x/(4x+1)的凸凹性，计算出函数的二阶导数，判断函数的凸凹性，并求出函数y=e^x/(4x+1)的凸凹区间。



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导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

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如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0。



8

用表格列举函数y=e^x/(4x+1)上部分点自变量x和因变量y对应值，即五点示意图如下。



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综合函数y=e^x/(4x+1)的定义域、值域、单调性和凸凹性等函数重要性质，并根据函数的单调区间和凸凹区间，函数y=e^x/(4x+1)的图像示意图如下：

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